बार के साथ ग्राफ

1736 में, यूलर (1707-1782) ने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या (Königsberg bridge problem) को हल किया, जिसने ग्राफ सिद्धांत को जन्म दिया। क्योंकि यह माना जाता है कि ग्राफ सिद्धांत 1736 में कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या के यूलर के समाधान के प्रकाशन के साथ शुरू हुआ था, यूलर को “ग्राफ थ्योरी के पिता” के रूप में जाना जाने लगा।

देश में एक बार फिर Down हुआ कोरोना का ग्राफ, पिछले 24 घंटे में 2 हजार नए केस

भारत में कोरोना संक्रमण के मामलों में एक बार गिरावट का दौर शुरू हो गया है। लगातार दूसरे दिन देश में कोरोना के मामलों को लेकर राहत नजर आई। पिछले 24 घंटे में यहां कोविड संक्रमण के 2 हज़ार 22 केस दर्ज हुए। वहीं इस दौरान वायरस से जान गंवाने वाले मरीजों की संख्या 46 रही।

केंद्रीय स्वास्थ्य मंत्रालय द्वारा सोमवार सुबह जारी आंकड़ों के अनुसार, देश में पिछले 24 घंटे में कोरोना वायरस से संक्रमित होने वाले लोगों की संख्या 2,022 रही। वहीं इस 46 लोगों की मृत्यु हुई, जो कल के मुकाबले 19 कम है। इसके साथ ही इस दौरान थी हुए मरीजों की संख्या भी 2,099 रही।

मंत्रालय के अनुसार, देश में मौजूदा समय में एक्टिव केस की संख्या 14,832 है। इसके साथ ही कुल पॉजिटिविटी रेट 0.69 प्रतिशत है। वहीं देश में महामारी के खिलाफ जारी टीकाकरण के तहत अब तक एंटी कोविड वैक्सीन की 192.38 करोड़ से अधिक डोज़ दी जा चुकी हैं।

पिछले 24 घंटे में रिकवर हुए 2,099 मरीजों के बाद अब तक कुल चार करोड़ 25 लाख 99 हजार 102 कोविड-19 से उबर चुके हैं। स्वस्थ होने की दर 98.75 प्रतिशत है। देश में पिछले 24 घंटे में 2 लाख 94 हजार 812 कोविड परीक्षण किए गये हैं। देश में कुल 84 करोड़ 70 लाख 92 हजार 226 कोविड परीक्षण किए हैं।

Corona Update: देश में लगातार बढ़ रहा कोरोना का ग्राफ, 4 दिन में तीसरी बार 4000 से ज्यादा नए केस, एक्टिव केस 26 हजार के करीब

देश में कोरोना का ग्राफ लगातार बढ़ता जा रहा है. ऐसा लगातार दूसरी बार है, जब एक ही दिन में कोरोना वायरस के 4 हजार से ज्यादा मामले दर्ज किए हैं, जबकि चार दिन में तीसरी बार 4 हजार से ज्यादा केस मिले हैं.

देश में कोरोना (Covid-19) का ग्राफ लगातार बढ़ता जा रहा है. ऐसा लगातार दूसरी बार है, जब एक ही दिन में कोरोना वायरस (Coronavirus) के 4 हजार से ज्यादा मामले दर्ज किए हैं, जबकि चार दिन में तीसरी बार 4 हजार से ज्यादा केस मिले हैं. भारत में एक दिन में कोरोना वायरस संक्रमण के 4,518 नए मामले सामने आने से देश में अब तक संक्रमित हो चुके लोगों की कुल संख्या बढ़कर 4,31,81,335 हो गई. वहीं, 9 और मरीजों की मौत होने से कुल मृतक संख्या बढ़कर 5,24,701 पर पहुंच गई. केंद्रीय स्वास्थ्य मंत्रालय की ओर से जारी आंकड़ों के अनुसार, देश में पिछले 24 घंटों में इलाज करा रहे मरीजों की संख्या (Active Corona Cases) में 1,730 की बढ़ोतरी दर्ज की गई है, जिससे सक्रिय मामले बढ़कर 25,782 पर पहुंच गए हैं.

आंकड़ों के मुताबिक, देश में कोविड-19 के इलाज करा रहे मरीजों की संख्या कुल मामलों का 0.06 प्रतिशत हो गई है. वहीं, मरीजों के ठीक होने की राष्ट्रीय दर 98.73 प्रतिशत है. देश में अभी तक कुल 4,26,30,852 लोग संक्रमण मुक्त हो चुके हैं और कोविड-19 से मृत्यु दर 1.22 प्रतिशत है. आंकड़ों के मुताबिक, राष्ट्रव्यापी टीकाकरण अभियान के तहत देशभर में अभी तक कोविड-19 रोधी टीकों की 194.12 करोड़ से अधिक खुराक दी जा चुकी हैं.

इस साल कोरोना मामले हुए 4 करोड़ के पार

गौरतलब है कि देश में सात अगस्त 2020 को संक्रमितों की संख्या 20 लाख, 23 अगस्त 2020 को 30 लाख और पांच सितंबर 2020 को 40 लाख से अधिक हो गई थी. संक्रमण के कुल मामले 16 सितंबर 2020 को 50 लाख, 28 सितंबर 2020 को 60 लाख, 11 अक्टूबर 2020 को 70 लाख, 29 अक्टूबर 2020 को 80 लाख और 20 नवंबर को 90 लाख के पार चले गए थे. देश में 19 दिसंबर 2020 को ये मामले एक करोड़ से अधिक हो गए थे. पिछले साल चार मई को संक्रमितों की संख्या दो करोड़ और 23 जून 2021 को तीन करोड़ के पार पहुंच गई थी. इस साल 26 जनवरी को मामले चार करोड़ के पार हो गए थे.

देश की राजधानी दिल्ली में क्या है कोरोना की स्थिति

दिल्ली में रविवार को कोविड-19 के 343 नए मामले सामने आए और संक्रमण से किसी मरीज की मौत नहीं हुई. दिल्ली के स्वास्थ्य विभाग द्वारा साझा किए गए आंकड़ों के मुताबिक संक्रमण दर 1.91 प्रतिशत दर्ज की गई. कोरोना वायरस संक्रमण के इन नए मामलों के सामने आने के साथ ही दिल्ली में कोविड महामारी के कुल मामलों की संख्या बढ़कर 19,08,730 हो गई, जबकि इससे मरने वालों की संख्या 26,212 पर ही स्थिर रही. स्वास्थ्य विभाग के बुलेटिन के मुताबिक, दिल्ली में बीते 24 घंटे के दौरान 17,917 नमूनों की कोविड-19 जांच की गई. बुलेटिन के मुताबिक, दिल्ली में कोविड-19 के इलाज करा रहे मरीजों की संख्या घटकर 1,422 हो गई है, इनमें से 1,016 मरीज घर पर ही रहकर अपना इलाज करवा रहे हैं.

बार ग्राफ 2

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ग्राफ सिद्धांत (Graph Theory) का इतिहास :

History of Graph Theory in Hindi – ग्राफ सिद्धांत के इतिहास का पता 1735 में लगाया जा सकता है, जब स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर ने कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या (Königsberg bridge problem) को हल किया था। ग्राफ का अध्ययन, जिसे ग्राफ सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है, गणित, इंजीनियरिंग, भौतिक, सामाजिक, जैविक और कंप्यूटर विज्ञान, भाषा विज्ञान और कई अन्य विषयों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। एक ग्राफ का उपयोग असतत वस्तुओं और उनके बीच संबंध से जुड़ी लगभग किसी भी भौतिक स्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।

एक ग्राफ बिंदुओं का एक संग्रह है जिसे नोड्स या वर्टिसिस (nodes or vertices) के रूप में जाना जाता है जो किनारों (edges) के रूप में ज्ञात लाइनों के नेटवर्क द्वारा एक साथ जुड़े होते हैं। क्योंकि ग्राफ सिद्धांत को अनुप्रयुक्त गणित (applied mathematics) की एक शाखा माना जाता है, इसमें कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि ग्राफ सिद्धांत को स्वतंत्र रूप से कई बार खोजा गया है।

ग्राफ सिद्धांत का आविष्कार किसने किया :

1736 में, यूलर (1707-1782) ने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या (Königsberg bridge problem) को हल किया, जिसने ग्राफ सिद्धांत को जन्म दिया। क्योंकि यह माना जाता है कि ग्राफ सिद्धांत 1736 में कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या के यूलर के समाधान के प्रकाशन के साथ शुरू हुआ था, यूलर को “ग्राफ थ्योरी के पिता” के रूप में जाना जाने लगा।

अगले 100 वर्षों तक इस क्षेत्र में और कुछ नहीं किया बार के साथ ग्राफ गया।

• फिर, 1847 में, जी आर किरचॉफ (1824-1887) ने अपने अनुप्रयोगों के लिए इलेक्ट्रिक नेटवर्क में tree theory विकसित किया। इलेक्ट्रिक नेटवर्क में किरचॉफ के शोध ने ग्राफ में trees से संबंधित मूलभूत अवधारणाओं और प्रमेयों का विकास किया।

• 10 साल बाद, ए. केली (1821-1895) ने उन trees के बारे में सोचा जो कार्बनिक रासायनिक आइसोमर्स की गिनती से उत्पन्न हुए और संतृप्त हाइड्रोकार्बन CnH2n+2 के आइसोमर्स की बार के साथ ग्राफ गणना करने की कोशिश करते हुए trees की खोज की।

• ग्राफ सिद्धांत में दो अन्य मील के पत्थर किरचॉफ और केली के समय के आसपास स्थापित किए गए थे।
  1. जिसमें से एक, चार रंगों का अनुमान (four-color conjecture) है,
  2. और, दूसरा हैमिल्टन द्वारा आविष्कार की गई एक पहेली है।

• चार रंगों का अनुमान (Four-color conjecture) :

Four-color conjecture के अनुसार, किसी भी एटलस (किसी समतल पर एक नक्शा) को रंगने के लिए चार रंग पर्याप्त होते हैं ताकि समान सीमाओं (common borders) वाले देशों में अलग-अलग रंग हों।

पहली बार 1840 में, ए.एफ. मोबियस (1790-1868) ने अपने व्याख्यान में चार-रंग की समस्या (four-color problem) को प्रस्तुत किया था।

करीब 10 साल बाद, ए. डी मॉर्गन (1806-1871) ने लंदन में अपने साथी गणितज्ञों के साथ इस समस्या पर चर्चा की। डी मॉर्गन का पत्र चार-रंग की समस्या का पहला प्रमाणित संदर्भ है।

1879 में, केली ने इस समस्या को “first volume of the Proceedings of the Royal Geographic Society” में प्रकाशित किया, और इसे प्रकाशित करने के बाद यह समस्या अच्छी तरह से ज्ञात हो गई। इसके बाद, प्रसिद्ध चार-रंग अनुमान प्रमुखता में आए और तब से लोकप्रिय बना हुआ है।

आज तक अब भी, चार-रंग का अनुमान (four-color problem) ग्राफ सिद्धांत में अब तक की सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्या है, जिसने क्षेत्र में भारी मात्रा में शोध को प्रेरित किया है।

• हैमिल्टन द्वारा आविष्कार की गई पहेली (Puzzle invented by Hamilton) :

1859 में, सर डब्ल्यू. आर. हैमिल्टन (1805-1865) ने ग्राफ के लिए एक पहेली (puzzle) दृष्टिकोण का आविष्कार किया और इसे डबलिन में एक गेम निर्माता को 25 गिनी में बेच दिया।

पहेली (puzzle) एक लकड़ी के नियमित डोडेकाहेड्रॉन (एक पॉलीहेड्रॉन, जिसमें 12 faces हैं जिनमें सभी face regular pentagons हैं, और 20 corners और 30 edges हैं। प्रत्येक corner पर 3 edges मिलते हैं ) से बना था। Corners पर 20 महत्वपूर्ण शहरों के नाम अंकित थे। पहेली (puzzle) का लक्ष्य डोडेकाहेड्रॉन के किनारों (edges) के साथ एक मार्ग खोजना था, जो 20 शहरों में से प्रत्येक से ठीक एक बार गुजरता था।

यद्यपि इस विशेष समस्या का समाधान प्राप्त करना सरल है, कोई भी अभी तक किसी भी ग्राफ में इस तरह के पथ (हैमिल्टनियन सर्किट के रूप में जाना जाता है) के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति नहीं खोज सका है।

इस उपयोगी अवधि के बाद, आधी सदी सापेक्ष निष्क्रियता की थी।

• फिर, 1920 के दशक के दौरान , ग्राफ में रुचि का पुनरुत्थान शुरू हुआ। डी. कोनिग इस समयावधि के अग्रदूतों में से एक थे। उन्होंने अन्य गणितज्ञों के साथ-साथ अपने स्वयं के कार्यों को व्यवस्थित किया और 1936 में इस विषय पर पहली पुस्तक प्रकाशित की।

• पिछले 30 वर्षों में ग्राफ सिद्धांत में गहन गतिविधि देखी गई है – शुद्ध और अनुप्रयुक्त (pure and applied) दोनों। इस क्षेत्र में काफी मात्रा में शोध कार्य किया गया है और किया जा रहा है। पिछले एक दशक के दौरान हजारों पत्र प्रकाशित हुए हैं और एक दर्जन से अधिक पुस्तकें लिखी गई हैं।

• इक्कीसवीं बार के साथ ग्राफ बार के साथ ग्राफ सदी में, पहले से ही ग्राफ सिद्धांत की बहुत सारी पुनः खोज हो चुकी हैं।

(Source – Various books from the college library)

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